worldofcalcsसमांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी कैलकुलेटर
nवाँ पद (aₙ)
29
n पदों का योग (Sₙ)
155
हल
aₙ = a + (n − 1)d = 2 + (10 − 1) × 3 = 29
Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d] = 10/2 × [2 × 2 + 9 × 3] = 155
शुरुआती पद
2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29
समांतर और गुणोत्तर श्रेढ़ी क्या हैं?
समांतर श्रेढ़ी (AP) में हर अगला पद पाने के लिए एक ही संख्या, सार्व अंतर d, जोड़ी जाती है: 2, 5, 8, 11… गुणोत्तर श्रेढ़ी (GP) में एक ही संख्या, सार्व अनुपात r, से गुणा किया जाता है: 3, 6, 12, 24… यह कैलकुलेटर दोनों का nवाँ पद और पहले n पदों का योग कक्षा 10 और 11 की किताबों जैसे हल के साथ निकालता है।
AP और GP के सूत्र
AP: aₙ = a + (n − 1)d, Sₙ = n/2 × [2a + (n − 1)d] · GP: aₙ = arⁿ⁻¹, Sₙ = a(rⁿ − 1) ÷ (r − 1), S∞ = a ÷ (1 − r) जब −1 < r < 1
a पहला पद और n पदों की संख्या है। AP के लिए Sₙ = n/2 × (पहला पद + अंतिम पद) भी इस्तेमाल कर सकते हैं।
उपयोगी परिणाम
- पहली n प्राकृत संख्याओं का योग n(n + 1)/2 है, इसलिए 1 + 2 + … + 100 = 5,050।
- पहली n विषम संख्याओं का योग n² है: 1 + 3 + 5 + 7 = 16।
- AP में तीन संख्याएँ a − d, a, a + d और GP में a/r, a, ar लिखी जा सकती हैं। इससे किताब के कई सवाल आसान हो जाते हैं।
- −1 और 1 के बीच अनुपात वाली GP 0 की ओर घटती है, इसलिए उसके पदों का योग सीमित होता है: 1 + ½ + ¼ + … = 2।
- चक्रवृद्धि ब्याज एक GP है: हर साल की रकम पिछली रकम × (1 + दर) होती है।
उदाहरण: AP 2, 5, 8, …
- पहला पद a = 2 और सार्व अंतर d = 3
- 10वाँ पद: a₁₀ = 2 + (10 − 1) × 3 = 29
- 10 पदों का योग: S₁₀ = 10/2 × [2 × 2 + 9 × 3] = 5 × 31 = 155
- Sₙ = n/2 × (पहला + अंतिम) से जाँच: 5 × (2 + 29) = 155
आम श्रेणियों के योग
मानक सूत्र और n = 10 व n = 100 के लिए उनके मान।
| श्रेणी | n पदों का योग | n = 10 | n = 100 |
|---|---|---|---|
| प्राकृत संख्याएँ 1, 2, 3, … | n(n + 1)/2 | 55 | 5,050 |
| विषम संख्याएँ 1, 3, 5, … | n² | 100 | 10,000 |
| सम संख्याएँ 2, 4, 6, … | n(n + 1) | 110 | 10,100 |
| वर्ग 1², 2², 3², … | n(n + 1)(2n + 1)/6 | 385 | 3,38,350 |
| घन 1³, 2³, 3³, … | [n(n + 1)/2]² | 3,025 | 2,55,02,500 |
पहली तीन AP हैं; वर्ग और घन नहीं, लेकिन उनके योग मानक परिणाम हैं।