अभाज्य गुणनखंड कैलकुलेटर

पूर्ण संख्या

अभाज्य गुणनखंड

360 = 2³ × 3² × 5

= 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5

भाजकों की संख्या

भाजकों का योग

1,170

भाग के चरण

भाजक	भागफल
	360
2	180
2	90
2	45
3	15
3	5
5	1

सभी भाजक

1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 45, 60, 72, 90, 120, 180, 360

अभाज्य गुणनखंड क्या है?

अभाज्य गुणनखंड में किसी संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में लिखा जाता है। अभाज्य संख्याएँ 1 से बड़ी वे संख्याएँ हैं जिनके गुणनखंड सिर्फ़ 1 और वे ख़ुद हैं (2, 3, 5, 7, 11 आदि)। 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का, गुणनखंडों के क्रम को छोड़कर, ठीक एक अभाज्य गुणनखंड होता है। इसका उपयोग HCF और LCM निकालने, भिन्न और वर्गमूल सरल करने और भाजक गिनने में होता है।

भाग विधि और भाजकों के सूत्र

n = p₁^a × p₂^b × … · भाजकों की संख्या = (a + 1)(b + 1)… · भाजकों का योग = Π (p^(k+1) − 1) ÷ (p − 1)

सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो पूरा भाग दे, और भागफल को तब तक भाग देते रहें जब तक 1 न आ जाए। जिन अभाज्य संख्याओं से भाग दिया, वे अभाज्य गुणनखंड हैं। हर भाजक हर अभाज्य को 0 से k बार तक चुनता है, इसी से भाजकों की संख्या का सूत्र बनता है।

टिप्स और शॉर्टकट

विभाज्यता के नियम काम तेज़ करते हैं: संख्या 2 से विभाज्य है अगर आख़िरी अंक सम हो, 3 से अगर अंकों का योग 3 का गुणज हो, और 5 से अगर आख़िरी अंक 0 या 5 हो।
सिर्फ़ संख्या के वर्गमूल तक की अभाज्य संख्याएँ आज़माना काफ़ी है। अगर कोई भाग नहीं देती, तो संख्या अभाज्य है।
गुणनखंड वृक्ष (factor tree) भी भाग विधि जैसा ही उत्तर देता है। संख्या को किन्हीं दो गुणनखंडों में तोड़ें और तब तक तोड़ते रहें जब तक हर शाखा अभाज्य पर न रुके।
दो संख्याओं का HCF साझा अभाज्यों को कम घात पर गुणा करता है। LCM हर अभाज्य को ज़्यादा घात पर गुणा करता है।
कोई संख्या पूर्ण वर्ग तब होती है जब उसके अभाज्य गुणनखंड की हर घात सम हो, जैसे 144 = 2⁴ × 3²।

उदाहरण: 360 के अभाज्य गुणनखंड

360 को भाग देने वाली सबसे छोटी अभाज्य संख्या 2 है: 360 ÷ 2 = 180
2 से भाग देते रहें: 180 ÷ 2 = 90, फिर 90 ÷ 2 = 45
45 विषम है, इसलिए 3 पर जाएँ: 45 ÷ 3 = 15, फिर 15 ÷ 3 = 5
5 अभाज्य है: 5 ÷ 5 = 1, यहाँ रुकें
360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 2³ × 3² × 5
भाजकों की संख्या: (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24

आम संख्याओं के अभाज्य गुणनखंड

स्कूल के अभ्यास में अक्सर आने वाली संख्याएँ, उनके भाजकों की संख्या के साथ।

संख्या	अभाज्य गुणनखंड	भाजक
12	2² × 3	6
24	2³ × 3	8
36	2² × 3²	9
48	2⁴ × 3	10
60	2² × 3 × 5	12
72	2³ × 3²	12
90	2 × 3² × 5	12
100	2² × 5²	9
120	2³ × 3 × 5	16
144	2⁴ × 3²	15
180	2² × 3² × 5	18
360	2³ × 3² × 5	24

1 के कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं हैं। अभाज्य संख्या के ठीक 2 भाजक होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

सबसे छोटी अभाज्य संख्या से भाग दें जो पूरा भाग दे, आमतौर पर 2, फिर 3, 5, 7 आदि। हर भागफल को 1 आने तक भाग देते रहें। जिन अभाज्यों से भाग दिया, वे अभाज्य गुणनखंड हैं: 360 = 2³ × 3² × 5।

नहीं। अभाज्य संख्या के ठीक दो गुणनखंड होते हैं, 1 और वह ख़ुद, जबकि 1 का सिर्फ़ एक। यह न अभाज्य है न भाज्य, इसलिए इसका कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं है।

गुणनखंड वे सभी संख्याएँ हैं जो पूरा भाग देती हैं: 12 के 1, 2, 3, 4, 6 और 12। अभाज्य गुणनखंड सिर्फ़ वे अभाज्य हैं जिनका गुणनफल संख्या देता है: 12 = 2² × 3।

अभाज्य गुणनखंड की हर घात में 1 जोड़ें और गुणा करें। 360 = 2³ × 3² × 5¹, इसलिए इसके (3 + 1)(2 + 1)(1 + 1) = 24 भाजक हैं।

नहीं। अंकगणित की मूलभूत प्रमेय के अनुसार 1 से बड़ी हर पूर्ण संख्या का ठीक एक अभाज्य गुणनखंड होता है, इसलिए यह संख्या की पहचान है।