worldofcalcsक्रमगुणित कैलकुलेटर
10!
36,28,800
10! = 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 36,28,800
अंक
7
अंत के शून्य
2
लगभग
3.6288 × 10^6
क्रमगुणित क्या है?
किसी पूर्ण संख्या n का क्रमगुणित, जिसे n! लिखते हैं, 1 से n तक की सभी पूर्ण संख्याओं का गुणनफल है: 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120। यह गिनता है कि n अलग चीज़ों को एक पंक्ति में कितने तरीक़ों से रखा जा सकता है, और क्रमचय, संचय और प्रायिकता में आता है। क्रमगुणित बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इसलिए यह कैलकुलेटर 5000! तक हर अंक के साथ सटीक मान देता है।
क्रमगुणित के सूत्र
n! = n × (n − 1) × … × 2 × 1 · 0! = 1 · n! = n × (n − 1)! · अंत के शून्य = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + …
अंत का हर शून्य 10 = 2 × 5 के एक गुणनखंड से आता है। 2 हमेशा 5 से ज़्यादा होते हैं, इसलिए 5 के गुणनखंड गिनने से अंत के शून्यों की संख्या मिलती है।
जानने योग्य बातें
- परिभाषा के अनुसार 0! = 1: कुछ भी न रखने का ठीक एक तरीक़ा है।
- 52 पत्तों की गड्डी 52! ≈ 8.07 × 10⁶⁷ क्रमों में फेंटी जा सकती है, जो पृथ्वी के परमाणुओं की संख्या से भी ज़्यादा है।
- nPr = n! ÷ (n − r)! और nCr = n! ÷ (r! (n − r)!) क्रमगुणित इस्तेमाल करते हैं।
- क्रमगुणित सिर्फ़ पूर्ण संख्याओं के लिए परिभाषित है; गामा फलन इसे दूसरी संख्याओं तक बढ़ाता है।
- स्टर्लिंग का सूत्र, n! ≈ √(2πn) (n/e)ⁿ, बड़े क्रमगुणितों का अनुमान लगाता है।
उदाहरण
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
- 10! = 36,28,800
- 20! = 2432902008176640000 (19 अंक)
- 100! में 158 अंक हैं और अंत में ⌊100/5⌋ + ⌊100/25⌋ = 20 + 4 = 24 शून्य
0 से 20 तक के क्रमगुणित
अंकों की संख्या और अंत के शून्यों के साथ सटीक मान।
| n | n! | अंक | अंत के शून्य |
|---|---|---|---|
| 0 | 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 | 0 |
| 2 | 2 | 1 | 0 |
| 3 | 6 | 1 | 0 |
| 4 | 24 | 2 | 0 |
| 5 | 120 | 3 | 1 |
| 6 | 720 | 3 | 1 |
| 7 | 5,040 | 4 | 1 |
| 8 | 40,320 | 5 | 1 |
| 9 | 3,62,880 | 6 | 1 |
| 10 | 36,28,800 | 7 | 2 |
| 11 | 3,99,16,800 | 8 | 2 |
| 12 | 47,90,01,600 | 9 | 2 |
| 13 | 6,22,70,20,800 | 10 | 2 |
| 14 | 87,17,82,91,200 | 11 | 2 |
| 15 | 13,07,67,43,68,000 | 13 | 3 |
| 16 | 2,09,22,78,98,88,000 | 14 | 3 |
| 17 | 35,56,87,42,80,96,000 | 15 | 3 |
| 18 | 6,40,23,73,70,57,28,000 | 16 | 3 |
| 19 | 1,21,64,51,00,40,88,32,000 | 18 | 3 |
| 20 | 24,32,90,20,08,17,66,40,000 | 19 | 4 |
20! 10¹⁹ से छोटा सबसे बड़ा क्रमगुणित है।