क्रमचय और संचय कैलकुलेटर

कुल वस्तुएँ (n)

चुनी गई वस्तुएँ (r)

क्रमचय, nPr

क्रम मायने रखता है

720

10P3 = 10 × 9 × 8 = 720

संचय, nCr

क्रम मायने नहीं रखता

120

10C3 = 10P3 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120

दोहराव की अनुमति के साथ

व्यवस्थाएँ, nʳ

क्रम मायने रखता है

1,000

10³

चयन, (n + r − 1)Cr

क्रम मायने नहीं रखता

220

12C3

क्रमचय और संचय क्या हैं?

दोनों गिनते हैं कि n में से r वस्तुएँ कितने तरीक़ों से चुनी जा सकती हैं। क्रमचय में क्रम मायने रखता है, जैसे पहला, दूसरा और तीसरा इनाम या PIN। संचय में नहीं, जैसे टीम चुनना या हल करने के लिए सवालों का सेट। क्योंकि r वस्तुओं के हर समूह को r! क्रमों में रखा जा सकता है, क्रमचय हमेशा संचय के r! गुना होते हैं।

nPr और nCr के सूत्र

nPr = n! ÷ (n − r)! · nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r! · दोहराव के साथ: nʳ व्यवस्थाएँ, (n + r − 1)Cr चयन

n! (n क्रमगुणित) n × (n − 1) × … × 1 है, और 0! = 1। दोहराव की अनुमति हो तो एक ही वस्तु एक से ज़्यादा बार चुनी जा सकती है, जैसे PIN के अंक।

क्रमचय या संचय?

पूछें कि क्या दो चुनी गई वस्तुओं की जगह बदलने से नतीजा बदलता है। अगर हाँ (रैंक, सीटें, पासवर्ड), तो क्रमचय लें; अगर नहीं (टीम, ताश के पत्ते), तो संचय।
nCr = nC(n − r): 10 में से 3 शामिल करने के लिए चुनना 7 छोड़ने के लिए चुनने जैसा ही है, इसलिए 10C3 = 10C7 = 120।
nC0 = nCn = 1 और nC1 = n।
सभी n वस्तुओं को एक पंक्ति में रखने के n! तरीक़े हैं: 5 किताबें 5! = 120 क्रमों में रखी जा सकती हैं।
52 पत्तों की गड्डी से 5 पत्ते 52C5 = 25,98,960 संचयों में से कोई भी हो सकते हैं।

उदाहरण: 10 में से 3 लोग चुनना

एक क्लब में 10 सदस्य हैं और उसे एक अध्यक्ष, एक सचिव और एक कोषाध्यक्ष चाहिए
क्रम मायने रखता है (पद अलग हैं): 10P3 = 10 × 9 × 8 = 720 तरीक़े
बिना पदों वाली 3 लोगों की समिति के लिए क्रम मायने नहीं रखता
10C3 = 10P3 ÷ 3! = 720 ÷ 6 = 120 तरीक़े
0–9 के अंकों से 3 अंकों का कोड, दोहराव की अनुमति के साथ: 10³ = 1,000 कोड

nPr और nCr के आम मान

पाठ्यपुस्तक और परीक्षा के सवालों में आने वाले मान।

n	r	nPr	nCr
4	2	12	6
5	3	60	10
6	2	30	15
8	3	336	56
10	3	720	120
11	5	55,440	462
12	4	11,880	495
52	5	31,18,75,200	25,98,960

nPr हमेशा nCr × r! होता है।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्रमचय क्रमबद्ध व्यवस्थाएँ गिनता है और संचय बिना क्रम के चयन। 10 में से 3 लोग चुनने पर 720 क्रमचय (3 अलग पदों के लिए) लेकिन 120 संचय (समिति के लिए) बनते हैं।

n! को r! × (n − r)! से भाग दें। आसान तरीक़ा: n से नीचे गिनती करते हुए r संख्याओं का गुणा करें, फिर r! से भाग दें। 10C3 = (10 × 9 × 8) ÷ (3 × 2 × 1) = 120।

परिभाषा के अनुसार 0! = 1। इससे nCn = n! ÷ (n! × 0!) = 1 जैसे सूत्र सही बैठते हैं: सब कुछ चुनने का ठीक एक तरीक़ा है।

दोहराव के बिना नहीं: 3 में से 5 अलग वस्तुएँ नहीं चुनी जा सकतीं। दोहराव के साथ हो सकता है, क्योंकि वस्तुएँ दोबारा इस्तेमाल हो सकती हैं; 3 अंकों से 3⁵ = 243 पाँच-अंकीय कोड बनते हैं।