निर्देशांक ज्यामिति कैलकुलेटर

बिंदु A

बिंदु B

विभाजन अनुपात m : n

बिंदु C (त्रिभुज के लिए)

दूरी AB

√(6² + 8²) = √100

मध्य-बिंदु

(4, 7)

((1 + 7) ÷ 2, (3 + 11) ÷ 2)

ढाल

4/3

(11 − 3) ÷ (7 − 1)

रेखा AB

4x − 3y + 5 = 0

y = 4/3x + 5/3

AB को 2 : 1 में बाँटने वाला बिंदु

(5, 25/3)

त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल

निर्देशांक ज्यामिति के सूत्र

निर्देशांक ज्यामिति बिंदुओं को उनके (x, y) निर्देशांकों से दर्शाती है, ताकि लंबाइयाँ, मध्य-बिंदु और क्षेत्रफल नापने की जगह सूत्रों से निकाले जा सकें। यह कैलकुलेटर कक्षा 10 NCERT के सूत्र शामिल करता है: दूरी सूत्र, विभाजन सूत्र, मध्य-बिंदु और त्रिभुज का क्षेत्रफल, साथ में दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा की ढाल और समीकरण।

सूत्र

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²) · P = ((mx₂ + nx₁) ÷ (m + n), (my₂ + ny₁) ÷ (m + n)) · क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)| · ढाल = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁)

विभाजन सूत्र वह बिंदु P देता है जो AB को आंतरिक रूप से m : n के अनुपात में बाँटता है; मध्य-बिंदु m = n = 1 का मामला है। बिंदु संरेख होते हैं जब उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य हो।

जानने योग्य बातें

मूलबिंदु से बिंदु (x, y) की दूरी √(x² + y²) है।
समांतर रेखाओं की ढालें बराबर होती हैं; लंबवत रेखाओं की ढालों का गुणनफल −1 होता है।
ऊर्ध्वाधर रेखा की ढाल अपरिभाषित होती है और उसका समीकरण x = अचर होता है।
त्रिभुज का केंद्रक ((x₁ + x₂ + x₃) ÷ 3, (y₁ + y₂ + y₃) ÷ 3) है।
तीन बिंदु संरेख हैं या नहीं, यह जाँचने के लिए उनसे बने त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें: एक रेखा पर होने पर यह 0 होता है।

उदाहरण: A(1, 3) और B(7, 11)

दूरी AB = √((7 − 1)² + (11 − 3)²) = √(36 + 64) = √100 = 10
मध्य-बिंदु = ((1 + 7) ÷ 2, (3 + 11) ÷ 2) = (4, 7)
ढाल = (11 − 3) ÷ (7 − 1) = 8/6 = 4/3; रेखा AB: 4x − 3y + 5 = 0
AB को 2 : 1 में बाँटने वाला बिंदु = ((2 × 7 + 1 × 1) ÷ 3, (2 × 11 + 1 × 3) ÷ 3) = (5, 25/3)
C(1, 11) के साथ: क्षेत्रफल = ½ |1(11 − 11) + 7(11 − 3) + 1(3 − 11)| = ½ × 48 = 24

आम बिंदुओं के बीच की दूरियाँ

पाइथागोरियन त्रिक वाली दूरियाँ जो पूर्ण संख्याएँ देती हैं।

A	B	दूरी AB
(0, 0)	(3, 4)	5
(1, 3)	(7, 11)	10
(2, -1)	(7, 11)	13
(-3, 2)	(5, 17)	17
(0, 0)	(8, 15)	17
(-1, -1)	(6, 23)	25

दूरी = √(Δx² + Δy²)।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

AB = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²)। (1, 3) और (7, 11) के बीच की दूरी √(36 + 64) = 10 है।

(x₁, y₁) और (x₂, y₂) को मिलाने वाले रेखाखंड को m : n में बाँटने वाला बिंदु ((mx₂ + nx₁) ÷ (m + n), (my₂ + ny₁) ÷ (m + n)) है।

क्षेत्रफल = ½ |x₁(y₂ − y₃) + x₂(y₃ − y₁) + x₃(y₁ − y₂)|। (1, 3), (7, 11) और (1, 11) के लिए क्षेत्रफल 24 है।

ढाल m = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁) निकालें, फिर y − y₁ = m(x − x₁) लगाएँ। (1, 3) और (7, 11) से होकर: y − 3 = 4/3 (x − 1), यानी 4x − 3y + 5 = 0।