समीकरण हल करने वाला

समीकरण 1: x + y = 14
समीकरण 2: x − y = 4
x = 9, y = 5

अद्वितीय हल वाला संगत युग्म: रेखाएँ एक बिंदु पर काटती हैं, क्योंकि a₁/a₂ ≠ b₁/b₂।

a₁b₂ − a₂b₁ = 1 × (-1) − 1 × 1 = -2
x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁) = -18 ÷ (-2) = 9
y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁) = -10 ÷ (-2) = 5

यह कौन से समीकरण हल कर सकता है?

NCERT पाठ्यक्रम के तीन प्रकार। एक चर वाले रैखिक समीकरण, जैसे 2x + 5 = 11 (कक्षा 8)। दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म, जैसे x + y = 14 और x − y = 4 (कक्षा 10), साथ में यह कि उनका एक हल है, कोई नहीं या अपरिमित रूप से अनेक। और द्विघात समीकरण, जैसे 2x² − 5x + 3 = 0, विविक्तकर और मूलों की प्रकृति के साथ (कक्षा 10)। जहाँ संभव हो, उत्तर सटीक भिन्नों में दिखाए जाते हैं।

मुख्य सूत्र

ax + b = c ⇒ x = (c − b) ÷ a · x = (c₁b₂ − c₂b₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁), y = (a₁c₂ − a₂c₁) ÷ (a₁b₂ − a₂b₁) · x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a

बीच वाले सूत्र a₁x + b₁y = c₁ और a₂x + b₂y = c₂ के लिए वज्र-गुणन विधि हैं। आख़िरी द्विघात सूत्र है; इसका विविक्तकर D = b² − 4ac मूलों की प्रकृति तय करता है।

हलों की प्रकृति

  • रैखिक समीकरण युग्म का अद्वितीय हल होता है अगर a₁/a₂ ≠ b₁/b₂, कोई हल नहीं अगर a₁/a₂ = b₁/b₂ ≠ c₁/c₂, और अपरिमित रूप से अनेक अगर तीनों अनुपात बराबर हों।
  • आलेख में ये क्रमशः प्रतिच्छेदी, समांतर और संपाती रेखाएँ हैं।
  • द्विघात समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल होते हैं जब D > 0, दो बराबर मूल जब D = 0 और कोई वास्तविक मूल नहीं जब D < 0।
  • द्विघात के मूलों का योग −b/a और गुणनफल c/a है: 2x² − 5x + 3 = 0 के लिए 3/2 + 1 = 5/2 और 3/2 × 1 = 3/2।
  • हल को हमेशा मूल समीकरण में रखकर जाँचें।

उदाहरण

  1. 2x + 5 = 11 ⇒ 2x = 6 ⇒ x = 3
  2. x + y = 14 और x − y = 4: a₁b₂ − a₂b₁ = (1)(−1) − (1)(1) = −2
  3. x = (14 × (−1) − 4 × 1) ÷ (−2) = 9 और y = (1 × 4 − 1 × 14) ÷ (−2) = 5
  4. 2x² − 5x + 3 = 0: D = 25 − 24 = 1, इसलिए दो भिन्न वास्तविक मूल हैं
  5. x = (5 ± 1) ÷ 4, इसलिए x = 3/2 या x = 1

द्विघात मूलों की प्रकृति

विविक्तकर मूल कैसे तय करता है, उदाहरणों के साथ।

समीकरणD = b² − 4acमूल
x² − 5x + 6 = 013, 2
2x² − 5x + 3 = 013/2, 1
x² − 4x + 4 = 002
x² + 2x + 5 = 0-16D < 0: कोई वास्तविक मूल नहीं

D < 0 वाले मूल सिर्फ़ सम्मिश्र संख्याओं के रूप में होते हैं।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

प्रतिस्थापन, विलोपन या वज्र-गुणन से। x + y = 14 और x − y = 4 को जोड़ने पर 2x = 18, इसलिए x = 9 और y = 5।
गुणांकों के अनुपात की तुलना करें। अगर a₁/a₂ = b₁/b₂ लेकिन c₁/c₂ से अलग है, तो रेखाएँ समांतर हैं और कभी नहीं मिलतीं। x + 2y = 3 और 2x + 4y = 7 का कोई हल नहीं है।
ax² + bx + c = 0 के लिए x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a। 2x² − 5x + 3 = 0 के लिए x = (5 ± 1) ÷ 4, यानी 3/2 और 1।
D = b² − 4ac। अगर D > 0 तो दो भिन्न वास्तविक मूल, D = 0 तो दो बराबर वास्तविक मूल, और D < 0 तो कोई वास्तविक मूल नहीं।
D < 0 होने पर कोई वास्तविक हल नहीं, जैसे x² + 2x + 5 = 0 (D = −16)। इसके दो सम्मिश्र मूल हैं, −1 ± 2i।

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